كياس از نگاه استاد جم پور

كياس از نگاه استاد جم پور: كياس از نگاه استاد جم پور

كياس از نگاه استاد جم پور

مختصری در خصوص توابع آشوب  
این موضوع ارائه شده توسط: رقیه حسین پور

سیستم های آشوبناک

برای مشاهده فرمولهای ارائه شده لطفا فای ضمیمه را با فرمت PDF مشاهده فرمایید.

سیستم لورنز

سيستم لورنز از اولين سيستمهاي شناخته شده آشوبگون است كه در ابتدا براي تحليل جريانات هوايي و پيش بيني وضع هوا ابداع شد ولي بسياري از سيستمهاي هيدرو دينامیكي ، مكانيكي ، ديناميكي و مسائل ليزري و نوري نيز مي توان به وسيلة آن مدل و تحليل كرد. معادلات حاكم بر سيستم به اين شرح است :

(1)                                                                             

این سیستم شامل سه پارامتر کنترلی  ،  و  است که هر سه مقادیر مثبتی را اختیار می­کنند.  در این معادلات  ،  و  حالتهای سیستم و  زمان می­باشد. پارامتر  عدد ریلی نام دارد که اختلاف دمایی بین سطح بالا و پایین قسمت مورد نظر را نشان می دهد.  به عنوان عدد پرانتل است که نشان دهنده نسبت چگالی به هدایت گرمایی است. این سیستم با تغییر هر یک از پارامترها رفتارهای گوناگونی از خود بروز می­دهد. سیستم لورنز یک سیستم دینامیکی غیرخطی زمان پیوسته است که با مقادیر خاصی برای پارامترهایش رفتار آشوبگون از خود بروز می­دهد.

در حالتی که پارامتر  به بازه [0,1] محدود شده باشد منبع (0,0,0) در حالت عمومی پایدار خواهد بود. در  سیستم بین دو نقطۀ ایستای متقارن   و    با مختصات  دو شاخه می­گردد البته در صورتی که  در ناحیه  قرار گرفته باشد. این نقاط ایستا تا مقدار  پایدار می مانند.سیستم به ازای مقادیر  و  و  دارای رفتار آشوبناک خواهد بود.

این سیستم آشوبناک با استفاده از نرم­افزار متلب، شبیه سازی شده است و تعدادی از تصویرهای جاذب عجیب این سیستم در فضای فضای های دوبعدی و سه بعدی به صورت شکل­های1 تا 4 نتیجه شده اند. شرایط اولیه برای شبیه سازی این سیستم آشوبناک به صورت  در نظر گرفته شده است.

شکل 5 پاسخ های زمانی متغیرهای حالت سیستم آشوبناک لورنز را نشان می دهد.شرایط اولیه برای شبیه سازی این سیستم  در نظر گرفته شده است.

برای درک بهتر تفاوت یک سیستم آشوبناک لورنز با یک سیستم تصادفی مسیر فضای حالت یک تابع تصادفی و نیز مسیر فضای حالت نگاشت آشوبناک لورنز را در کنار هم در شکل 6  رسم نموده ایم. برای رسم این نمودار به طور متوالی در دو تابع،  را نسبت به  رسم می­کنیم. با مقایسه این در می­یابیم که بعد مسیر فضای حالت تابع تصادفی به سمت بینهایت میل می­کند در حالیکه مسیر فضای حالت نگاشت آشوبگونه لورنز، یک بعدی است.از توضیحات بالا برمی­آید هر چند که سیستم های تصادفی الگوهای موقتی بسیار متنوعی تولید می­کنند ولی مشکل آنها عدم قطعیت آنهاست.

نگاشت لجستیک

متداولترین و ساده­ترین سیستم آشوبی به نگاشت لجستیک معروف است و در برگیرنده­ی یک معادله تفاضلی از نوع یک متغیره­­ی مرتبه­ی اول غیرخطی است. رابطه دینامیکی این سیستم اولین بار توسط روبرت می معرفی شد. این نگاشت به صورت زیر تعریف می­شود :

(2)                                                

که در آن r ضریب لجستیک است.r بین صفر تا چهار محدود می شود تا فاصله صفر تا یک روی خودش قرار گیرد. این معادله را مثلاً برای شبیه سازی رشد جمعیت یک گونه می­توان بکار برد. برای درک بهتر موضوع در شکل7  یک نقشه­ی لجستیک تک بعدی از تغییرات  با فرض r = 3.95  و    نشان داده شده است که  نقطه­ی شروع است. همانطور که از شکل مشخص است تغییرات  کاملاً تصادفی به نظر می­رسد و نمی­توان الگویی معین برای آن در نظر گرفت. اما زمانی که ارتباط متغیرها را در تکرارهای متوالی در یک  فضای دو بعدی مورد بررسی قرار دهیم، روند تغییرات داده­ها دارای الگوی قطعی خواهد بود (شکل 8).

همان طور که گفته شد یکی از ویژگی­های مهم فرایند­های آشوبی، حساسیت به نقطه­ی شروع یا شرایط اولیه است. در این تئوری بیان می­شود که در تمامی پدیده­ها، نقاطی وجود دارند که تغییری اندک در آن­ها باعث تغییراتی عظیم در روند فرایند می­شود. برای بیان روشن این موضوع بهتر است حساسیت نقشه­ی لجستیک را در فضای تک بعدی برای مقادیر مختلف r مورد بررسی قرار دهیم. در نگاشت لجستیک با قرار دادن نقطه اولیه­ی  و تغییرات r ، ماهیت سری زمانی به شکل­های مختلف نمایان می­شود. حساسیت رفتار نگاشت لجستیک بر حسب مقادیر مختلف r در جدول 1 آمده است.

جدول 1 : ماهیت رفتار سیستم به ازای مقادیر مختلف r

برای برخی از مقادیر r در بازه­های بیان شده در جدول 1 ، نگاشت لجستیک تک بعدی در شکل 9 رسم شده است. همانطور که در شکل مشخص است با تغییر اندکی در مقدارr تغییرات اساسی و شدیدی را در نتایج ایجاد می کند.

نگاشت تنت

سیستم تنت یکی از سیستم های شناخته شده آشوبناک است که جزء سیستم­های دینامیکی گسسته یک بعدی تلقی می­شود. رابطه دینامیکی این سیستم به صورت زیر است:

(3)                               

مقدار  در رفتار سیستم بسیار تاثیرگذار می­باشد چنانکه اگر  باشد سیستم دارای یک نقطه جاذب خواد بود و آن نقطه  و سیستم به ازای هر مقدار  به سمت صفر همگرا می­شود.

چنانچه مقدار  آنگاه سیستم به سمت یک عدد ثابت کمتر از   همگرا می­شود و همچنان رفتار سیستم آشوبناک نخواهد بود اما اگر  باشد آنگاه سیستم دارای دو نقطه جاذب خواهد بود اولی نقطه  و دومی نقطه  می­باشد که هیچکدام از این دو نقطه پایا نمی­باشند. همچنین اگر  باشد، سیستم یک مجموعه از فواصل بین نقاط  و   را به خودشان نگاشت می کند که این مجموعه، مجموعه جولیا نگاشت تنت نامیده می­شود. اگر  باشد آنگاه این فواصل در هم ادغام می­شوند و مجموعه جولیل کل فاصله    تا  خواهد شد. بنابراین اگر مقدار  باشد نتایج سیستم در محدوده  خواهد بود و سیستم در محدوده  آشوبناک می باشد. در شکل 10 یک نقشه­ی ­تنت تک بعدی از تغییرات  با فرض r = 1.5  و   نشان داده شده است که  نقطه­ی شروع است. همانطور که از شکل مشخص است تغییرات  کاملاً تصادفی به نظر می­رسد و نمی­توان الگویی معین برای آن در نظر گرفت. اما زمانی که ارتباط متغیرها را در تکرارهای متوالی در یک  فضای دو بعدی مورد بررسی قرار دهیم، روند تغییرات داده­ها دارای الگوی قطعی خواهد بود (شکل11).

نگاشت هنون

نگاشت هنون یک نگاشت آشوبی دوبعدی معکوس­­پذیر می­باشد که در سال 1976 توسط هنون معرفی شده است. این نگاشت یک نمونه ساده شده نگاشت پوانکاره برای معادلات لورنز می­باشد. نگاشت آشوبی هنون به عنوان روشی برای تولید دنباله­های شبه تصادفی معرفی شده است. نگاشت دوبعدی هنون به صورت زیر تعریف می­شود:

(4)                                           

به این صورت که  نقطه شروع و زوج ( ) یک حالت دوبعدی سیستم می باشد. هنگامی که  و  باشد، سیستم در حالت آشوبی می­باشد. هنون نشان داد که اگر شرایط اولیه در ناحیه S که در محدوده های (42/0 , 33/1-)، (133/0 , 32/1)، (14/0- , 245/1) و (5/0-, 06/1-) تعریف شده است، انتخاب شود آنگاه نقاط حاصل از تکرار نگاشت، یعنی  برای  ، نیز در محدوده S قرار می­گیرد[6].  نگاشت هنون جاذبعجیبی دارد. شکل 13 دیاگرام فضای حالت این نگاشت را هنگامی که در حالت آشوبی است نشان می­دهد. برای هر مقدار  در S، دنباله نقاط به این جاذب همگرا می­شوند و در طول تکرار نگاشت بر روی آن باقی می­مانند.